Euh....... .....??

Voilà ce que j'ai compris en lisant les sources et qui, à mon sens, explique le paradoxe: - la trompette a une longueur infinie, l'une de ses extrémités, celle qui devient de plus en plus petite, se déploie à l'infini, il y aura donc toujours quelque chose à peindre à l'extérieur -mais si on couvre de peinture la surface intérieure, on devra à un moment s'arrêter en s'enfonçant dans l'extrémité infinie qui devient de plus en plus étroite car la peinture à une certaine épaisseur, qui elle est finie. Si quelqu'un a une meilleure compréhension du phénomène...

Terricelli est aussi à l’origine d’une loi permettant de calculer la vitesse d’écoulement d’un fluide par un orifice en fonction de la hauteur d’eau au-dessus de celui-ci. Problème de la baignoire qui se vide par exemple. Je suis ingénieur hydraulicien et j’utilise parfois la formule mathématique associée.

De ce que j'ai compris de la page Wikipedia, en fait le solide est basé sur une équation hyperbolique y = 1/x, quand x tends vers l'infini (donc surface extérieure infinie) y tend vers 0, et en fait il a été prouvé que son volume intérieur lui est bien fini (puisque y tend vers 0 la trompette devient de plus en plus fine) et peut donc être "rempli"

En fait c'est très simple, Imaginez un entonnoir avec au bout, un très très long tuyaux très fin de la taille d'un cheveux. Maintenant, faisons l'analogie entre des grains de sable représentant le volume. Si vous remplissez l'entonnoir avec les grains de sable, il vont en effet remplir l'entonnoir, mais seulement quelques grains vont réussir à se loger près du tuyau fin, mais la longueur du tuyau étant infini, sa surface est forcément infini.

Le problème de compréhension est dû au fait qu'on fait cohabiter la peinture (qui est un objet réel) avec un solide abstrait (qui ne peut pas exister dans notre monde réel du fait de ses dimensions infinies). Ce qu'il faut retenir, c'est que ce solide mathématique (non-modelisable physiquement) a une aire infinie mais un volume fini. Point barre. Et la peinture, vous la laissez dans son pot réel.

C'est l'ange ISRAFIL qui soufflera dans la trompette et non pas l'ange GABRIEL

Cette affirmation est totalement erronée ! La trompette de Gabriel peut parfaitement être peinte. En revanche, elle ne peut pas l’être avec une couche de peinture d’épaisseur uniforme. C’est tout, il n’y a pas le moindre paradoxe !

Et du coup personne pour m'éclairer quant à ma question SVP? Suis-je le seul féru de maths ici? :(

J’ai bien compris le rapport avec l’archange Gabriel et la trompette mais alors le reste... j’ai beau relire... ça me dépasse

Bon ! Je vais chercher un aspirine et je reviens pour essayer de comprendre.

Lapin compris.

Je n'ai pas compris le concept. Il me semble que ni le volume, ni la surface ne peuvent être finis. Cette trompette n'a pas de "fond", donc si la trompette tourne autour de l'axe (Ox), alors son rayon r, qui correspond à la projection orthogonale d'un point de la surface extérieure de la trompette sur l'axe des abscisses, tend vers 0 mais reste TOUJOURS POSITIF quand x tend vers l'infini... donc le volume ET la surface sont tous 2 infinis, je me trompe?

J’adore la communauté qui fréquente cette appli ! Le texte initial était incompréhensible, mais tout le monde s’est donné du mal pour comprendre, expliquer, donner son point de vu mathématique, physique, historique, théologique, philosophique à la chose pour lui donner du sens... C’est extrêmement enrichissant de fréquenter tout le monde ici :) Merci beaucoup, vous tous ! Je trouve assez étonnant par ailleurs que l’autre appli, se coucher moins bête image, fédère beaucoup moins une communauté de réflexion. Est-ce le hasard, ou le fait que les images génèrent moins de réflexion ou d’échange que des textes. Je trouve ça étonnant.

Je me permet d'ajouter une énième explication plus philosophique, que j'espère plus simple pour les néophytes : Si cet objet nous paraît paradoxal, c'est parce que pour notre cerveau, une surface ça n'existe pas vraiment : une feuille a toujours une épaisseur, un territoire une profondeur de terre. En mathématique, ce n'est pas le cas : ainsi, vous ne pourrez pas peindre votre trompette avec la peinture qui la remplît. Il vous faudra acheter une autre peinture, étiquetée "sans épaisseur, spécial aire". Présenter le paradoxe comme ça est trompeur, en nous faisant croire que c'est la même peinture. En maths, volume et aire sont deux concepts véritablement différents, les comparer n'a pas de sens. Enfin, si on "force" le concept d'aire à coller à notre intuition, le paradoxe ne tient plus : si on peint la trompette par l'intérieur avec une peinture à épaisseur, il arrivera un moment où le goulot sera trop petit, et on ne pourra plus peindre.* *j'emprunte cet explication à un autre commentaire

C'est en effet un concept assez surprenant ! Un autre dans le même genre mais plus simple à appréhender je pense : Imaginer une boite de conserve d'un volume de 33cL avec des dimensions standards (une canette de soda par exemple). Son volume et sa surface sont bien finis pas de problème. Maintenant prennez une boite de conserve d'un volume de 33cL toujours mais beaucoup plus étirée. On obtiendrait presque un long baton en quelque sorte. Son volume n'a pas changé mais sa surface elle a grandement augmentée. Si on continue "d'étirer" cette boite de conserve en gardant son volume fixe on obtient un baton de plus en plus long mais de plus en plus fin. On fait tendre petit à petit sa surface vers l'infini alors que son volume reste fini. Avec la trompette de Gabriel c'est bien plus complexe parce que la forme géométrique est plus compliquée (le volume n'est pas fixe comme dans mon exemple aussi) mais le principe est assez similaire :) Ps : d'ailleurs les boites de conserve (similaires à des cylindres) que l'on trouve partout n'ont pas ces dimensions par hasard ! Il s'agit en effet de l'optimisation de la surface pour obtenir un volume donnée. Autrement dit on essaye d'avoir la plus petite surface (et donc un coût en matières premières le plus faible) avec un volume requis. J'aime les maths :)

Bon, je vais essayer de vous faire une explication pour les non-matheux: Notre trompette est une portion d'hyperbole que l'on a fait tourner sur elle-même (vous avez la forme en image). Elle démarre, sur un graphique, à 1, et continue jusqu'à l'infini. Si on la démarre à 1, c'est parce qu'en zéro, elle n'est pas définie, c'est à dire qu'on ne peut calculer de valeur. Par exemple, la fonction 1/x, qui est calculable pour tout X différent de zéro et est l'hyperbole la plus connue. (Le choix de 1 est totalement arbitraire, en fait n'importe quelle valeur entre 0 et 1 aurait suffit mais là, la forme est jolie et facile à appréhender). Concrètement, puisqu'elle continue jusqu'à l'infini, sa longueur est infinie. De la même manière (sans trop expliquer les détails), la surface extérieure augmente à l'infini. Si vous voulez, la différence de surface extérieure sur des portions éloignées de notre trompette est faible, on rajoute donc, pour une taille d'intervalle donnée, toujours à peu près la même surface. Par contre, pour ce qui est du volume, la plus grosse partie se trouve au tout début de notre trompette. En effet, à chaque fois que l'on avance sur notre courbe, le volume ajouté réduit, bien plus rapidement que pour la surface. Pour faire simple, le calcul de la surface est un produit de la longueur de l'intervalle et de l'ordonnée moyenne (la hauteur moyenne de la courbe) sur cet intervalle, alors que le calcul du volume est un produit de la longueur de l'intervalle par le carré de l'ordonnée moyenne. Au carré, ça réduit beaucoup plus vite. Au bout d'un moment, les valeurs sont tellement petites qu'on n'ajoute presque rien au volume total ; mathématiquement, on est capable de calculer une limite théorique au volume, qui sera atteinte au bout d'un temps infini : on dit que la fonction qui représente notre volume "tend" vers une valeur. C'est-à-dire que, à cause de la nature de la fonction, on n'atteindra cette valeur qu'après une infinité d'ajouts de touts petits volumes, et qu'on ne peut donc pas dire "notre trompette atteint ce volume à l'abscisse X (la longueur X de la trompette)". Ce volume maximal est une "limite" de la fonction représentant le volume. Imaginez donc une courbe qui est croissante, mais dont la croissance réduit progressivement et au dessus de laquelle on peut tracer une droite horizontale que la fonction ne dépassera jamais. La droite la plus "basse" que l'on peut tracer est sa limite ; si on la traçait plus bas, il existerait invariablement un point où elle croiserait notre courbe. J'espère avoir été le plus clair possible ! :) Sources: mon passage en prépa, puis en école d'ingénieurs, il y a quelques années.

Évidement c'est un paradoxe et une histoire qu'on aime raconter. Il ne serait évidemment pas possible de matérialiser le solide en question et de plus, l'établissement de ce paradoxe est antérieur au calcul intégral qui serait pourtant très intéressant dans son analyse.

Il faut bien garder en tête que la trompette se prolonge à l’infini vers la droite. Malgré cela pour cette forme particulière le calcul du volume intérieur donne une valeur mais pas le calcul de la surface qui lui est infini (la fonction qui calcule le volume est dite intégrable contrairement à celle de la surface). Le passage à l’infini est contre intuitif comme dans la situation suivante : vous êtes à 2 mètres d’un mur. Vous décidez d’avancer vers lui de la manière suivante : 1 pas puis 1/2 pas, puis 1/4 de pas puis 1/8 .... à chaque fois vous parcourez la moitié de la distance restante donc on comprends que vous ne toucherez jamais le mur. Résultat vous faites une infinité d’étapes pour avancer d’une distance finie : 2 pas. Il en est de même pour la trompette qui semble aller jusqu’à l’infini mais qui a un volume fini :)

Il faut quand même bien comprendre que quand un mathématicien construit de tels objets, il le fait à travers des concepts qui sont propres au mathématiques et ne se transposent pas toujours au monde physique. Les mathématiciens savent découper des choses à l'infini, chose qu'un physicien juge impossible. Le mathématicien sait aussi très bien couper une boule en morceau et, avec ces morceaux, former deux nouvelles boules chacune identiques à la première : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski De ces bizarreries, nous ne devons évidemment pas penser en tirer un intérêt pratique, ni même mathématiques, mais métaphysique (ou métamathématique). Comme à chaque fois lorsque les mathématiciens ont tenté de chercher des cas pathologiques (ça a commencé avec les fonctions continues partout mais dérivable nulles part), le but était de montrer à quel point les concepts qu'ils manipulent peuvent ne pas être de très bons modèles de ce qui existe physiquement puisqu'ils conduisent à des contradictions, non au sein des mathématiques, mais de leur interprétation.

Dixit Wikipedia : En effet, la quantité de peinture suppose que la surface soit peinte sur une épaisseur e. Lorsque l'on peint l'intérieur de la trompette, il arrive un moment où le rayon intérieur devient inférieur à e. Alors on s'arrête de peindre tandis que la surface continue à se déployer indéfiniment.

Je comprends pas tout là... peut on la « modéliser » dans notre monde réel ? Genre l’as ton déjà fabriquer de manière concrète et réaliser l’expérience ?

... de NOS cours de maths pardon...

Si ça peut aider certains à comprendre, on peut ramener ce problème à un espace à 2 dimensions. Souvenons-nous de vos cours de math. La courbe e^x (exponentielle) tend vers 0 quand x tend vers - l'infini (on peut taper "courbe exponentielle" dans Google Images si ça peut aider). Si on prend la surface comprise entre cette courbe, l'axe des absisses, et l'axe des ordonnées, on obtient un périmètre infini (puisque la courbe continue à l'infini vers la gauche), mais une surface finie! Car la propriété de cette courbe est d'avoir une intégrale finie. On pourrait parler de peinture si on veut, mais pas besoin d'évoquer l'épaisseur ou quoi que ce soit. C'est simplement qu'on a une surface finie délimitée par un périmètre infini.

En fait tout réside dans le fait que la peinture aura dans tout les cas une épaisseur. Or l'intérieur de la trompette, se réduit à un tels point que l'épaisseur de la peinture est supérieur à celle de l'interieur de la trompette. Je sais pas si tput ça est clair. (J'ai lu l'article wiki hier)

Selon la source wiki : le volume est égal à Pï c’est la raison pour laquelle on considère que le volume a une valeur fixe. Peut-on s’interroger sur la véracité de l’affirmation puisque ce nombre Pi est infini ?

ça me rappelle le ruban de moebius : une seule face, un seul coté !!!

Si je comprends bien meme si la longueur et donc la surface de la trompette tendent vers l'infini, le volume tend vers un nombre fini.