El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis. On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure. Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables

Plus précisément, là où le théorème est fort c'est qu'il prouve qu'on peut le faire en découpant la sphère en un nombre FINI de pièces (qui évidemment n'ont aucun sens physique comme dit dans l'anecdote). Plus fort encore, on connaît le nombre de découpages dont on a besoin: 5 exactement. Au même titre que l'escalier du diable (qui est plat partout mais monte quand même), il fait partie des paradoxes physiques qui apparaissent quand l'axiome du choix est introduit dans les règles du jeu mathématique.

Waouh ! Ça donne mal à la tête :-) !!!

L'axiome est donc faux car ce n'est pas possible...

C’est evident comme theoreme. Pas besoin de faire une demonstration complexe en mathématiques: Il suffit de faire des bulles de savon pour voir que c’est tellement facile de faire une bulle, puis de l’utiliser pour faire une ou deux autres bulles identiques, du moins en apparence. C’est possible car le nombre de molecules de savon, meme s’il est denombrable, est proche de l’infini dans ce cas particulier,. Cqfd

Certains se demande certainement : "mais pourquoi on a démontré un truc pareil ?". En fait, ça permet surtout de mettre à mal l'axiome du choix. Tout d'abord, qu'est-ce qu'un axiome ? Un axiome, c'est une "brique élémentaire", quelque chose qui nous paraît tellement évident qu'on ne peut pas le démontrer. En supposant vrai les axiomes, on démontre tout le reste de la théorie. Par exemple, la géométrie classique (celle d'Euclide) se base sur 5 axiomes, du style "on peut tracer une droite passant par deux points donnés". Et l'axiome du choix ? C'est un axiome de la théorie des ensembles, qui est un peu la maman de toutes les théories mathématiques, donc très importante. Il dit que si on a des ensembles devant nous, on peut choisir un élément dans chaque ensemble, c'est-à-dire créer un ensemble avec les "représentants" des ensembles (désolé, ça fait beaucoup d'"ensemble"). Comme vous voyez, cet axiome semble évident, et les mathématiciens sont d'accord avec vous, donc ils l'utilisent. Mais avec cet axiome, on arrive à dupliquer les sphères ! De quoi mettre en doute sérieusement son utilisation. Aujourd'hui, l'axiome du choix et tellement important qu'il est souvent utilisé (plusieurs choses permettent de relativiser la "gravité" du théorème de Banach-Tarski). Mais dès qu'ils le peuvent, les mathématiciens l'évitent. Voilà, j'espère avoir éclairé la lanterne des quelques non-initiés qui sont venus à bout de ce pavé !

Effectivement ce genre d'anecdote peut donner mal au crâne mais certains prennent le temps d'expliquer, merci à eux. Les mathématiques sont franchement marrantes, tu y retrouve des infinis qui n'ont pas la même taille, des droites parallèles qui se coupent à l'infini, etc. Les maths, c'est pas juste les théorèmes qu'on utilise jamais, c'est surtout un façon de voir le choses, de nous faire réfléchir ! Perso, une longueur infinie qui est une somme infinie de longueurs zéro, j'ai envi d'approfondir !

Exact, laissez moi découper une sphère à l'échelle de la molécule et je vous refais plusieurs sphères parfaites avec les morceaux...théorème terminé.

On vient juste de démontrer la démultiplication des pains (sphériques !) par Jésus...

Je préfère le cube de Yoshimoto, qui lui est bien réel : https://www.youtube.com/watch?v=mM7jt5a8TE0

On coupe une sphère en plusieurs morceaux et on peut les recoller à leur bonne place pour réformer ladite sphère ? Ben oui. Ça s'appelle un puzzle.

çà montre en tous cas que les mathématiques n'ont pas pour but de décrire le réel

Utilitée de ce genre d'anecdote où 1% des lecteurs vont comprendre et vont ensuite se lancer dans des pavés pour montrer qui a la plus grosse ?

Quelqu'un aurait un Doliprane??

Qué bordel! Et après ça tu t'étonnes que personne aime les maths?

Effectivement je n'y avais pas pensé, mais grâce à la théorie de la mesure dans les espaces euclidiens vu par un esprit critique tout en combinant la loi de Le lemme de recouvrement de Vitali (le tout au carré bien sûr) cela me semble maintenant évident. Comment ai-je fait pour ne pas y penser avant ?!

Oh! La multiplication des pains serait donc purement théorique :) Mon Dieu!

Plus précisément, là où le théorème est fort c'est qu'il prouve qu'on peut le faire en découpant la sphère en un nombre FINI de pièces (qui évidemment n'ont aucun sens physique comme dit dans l'anecdote). Plus fort encore, on connaît le nombre de découpages dont on a besoin: 5 exactement. Au même titre que l'escalier du diable (qui est plat partout mais monte quand même), il fait partie des paradoxes physiques qui apparaissent quand l'axiome du choix est introduit dans les règles du jeu mathématique.

El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis. On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure. Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables

Waouh ! Ça donne mal à la tête :-) !!!